прямая является касательной к графику функции найдите

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции в заданной точке, необходимо следовать определённому алгоритму. Рассмотрим процесс на примере функции y=f(x)y=f(x)y=f(x).

Шаги для нахождения уравнения касательной

1. Определите точку касания : Пусть точка касания имеет абсциссу aaa. Тогда координаты точки касания будут (a,f(a))(a,f(a))(a,f(a)).
2. Вычислите значение функции в точке касания : Найдите f(a)f(a)f(a).
3. Найдите производную функции : Вычислите производную f′(x)f'(x)f′(x) и затем подставьте x=ax=ax=a для нахождения углового коэффициента касательной: k=f′(a)k=f'(a)k=f′(a).
4. Составьте уравнение касательной : Уравнение касательной можно записать в виде:

y=f(a)+f′(a)(x−a)y=f(a)+f'(a)(x-a)y=f(a)+f′(a)(x−a)

Это уравнение описывает прямую, проходящую через точку (a,f(a))(a,f(a))(a,f(a)) с угловым коэффициентом f′(a)f'(a)f′(a).

Пример

Рассмотрим функцию f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2 и найдем уравнение касательной в точке x0=1x_0=1x0​=1:

1. Определите точку касания :

a=1,f(1)=12=1a=1,\quad f(1)=1^2=1a=1,f(1)=12=1

Точка касания: (1,1)(1,1)(1,1).

2. Вычислите значение функции :

f(1)=1f(1)=1f(1)=1

3. Найдите производную :

f′(x)=2x⇒f′(1)=2⋅1=2f'(x)=2x\quad \Rightarrow \quad f'(1)=2\cdot 1=2f′(x)=2x⇒f′(1)=2⋅1=2

4. Составьте уравнение касательной :
   Подставляем значения в уравнение:

y=1+2(x−1)y=1+2(x-1)y=1+2(x−1)

Упростим:

y=2x−1y=2x-1y=2x−1

Таким образом, уравнение касательной к графику функции y=x2y=x^2y=x2 в точке x0=1x_0=1x0​=1 будет:

y=2x−1y=2x-1y=2x−1

Следуя этому алгоритму, вы сможете находить уравнения касательных для различных функций и точек касания.