При артиллерийской стрельбе автоматическая система осуществляет выстрел по цели, и если цель не уничтожена, система делает повторный выстрел. Процесс продолжается до тех пор, пока цель не будет уничтожена. Вероятности выстрелов:
- Вероятность уничтожения цели при первом выстреле составляет 0,4.
- Вероятность уничтожения цели при каждом последующем выстреле равна 0,6.
Задача: Определить, сколько выстрелов потребуется для достижения вероятности уничтожения цели не менее 0,98. Для решения задачи можно использовать формулу для вычисления общей вероятности уничтожения цели после nnn выстрелов. Вероятность того, что цель не будет уничтожена после nnn выстрелов можно выразить как:
P(не уничтожена)=(1−p1)⋅(1−p2)⋯(1−pnP(\text{не уничтожена})=(1-p_1)\cdot (1-p_2)\cdots (1-p_nP(не уничтожена)=(1−p1)⋅(1−p2)⋯(1−pn
где p1=0.4p_1=0.4p1=0.4 (первый выстрел), и p2=p3=...=0.6p_2=p_3=...=0.6p2=p3=...=0.6 (все последующие). Таким образом, вероятность того, что цель будет уничтожена после nnn выстрелов:
P(уничтожена)=1−P(не уничтожена)P(\text{уничтожена})=1-P(\text{не уничтожена})P(уничтожена)=1−P(не уничтожена)
Теперь рассчитаем:
- Первый выстрел:
P(уничтожена)=0.4P(\text{уничтожена})=0.4P(уничтожена)=0.4
- Два выстрела:
P(уничтожена)=0.4+(0.6⋅0.4)=0.4+0.24=0.64P(\text{уничтожена})=0.4+(0.6\cdot 0.4)=0.4+0.24=0.64P(уничтожена)=0.4+(0.6⋅0.4)=0.4+0.24=0.64
- Три выстрела:
P(уничтожена)=0.64+(0.62⋅0.4)=0.64+0.216=0.856P(\text{уничтожена})=0.64+(0.6^2\cdot 0.4)=0.64+0.216=0.856P(уничтожена)=0.64+(0.62⋅0.4)=0.64+0.216=0.856
- Четыре выстрела:
P(уничтожена)=0.856+(0.63⋅0.4)=0.856+0.1296=0.9856P(\text{уничтожена})=0.856+(0.6^3\cdot 0.4)=0.856+0.1296=0.9856P(уничтожена)=0.856+(0.63⋅0.4)=0.856+0.1296=0.9856
Таким образом, для достижения вероятности уничтожения цели не менее чем 0,98 необходимо сделать четыре выстрела. Ответ: Для достижения вероятности уничтожения цели не менее 0,98 потребуется 5 выстрелов
English (US)