Корень n-й степени — это математическая операция, которая позволяет находить число, возведенное в степень nnn, равное заданному числу aaa. Эта операция обозначается как an\sqrt[n]{a}na и определяется следующим образом:
Определение
Корнем n-й степени из числа aaa называется такое число bbb, что bn=ab^n=abn=a. Здесь:
- nnn — натуральное число (n≥2n\geq 2n≥2),
- aaa — подкоренное число,
- bbb — корень n-й степени из aaa.
Примеры:
- Для квадратного корня (n=2n=2n=2): 81=9\sqrt{81}=981=9 (поскольку 92=819^2=8192=81).
- Для кубического корня (n=3n=3n=3): 273=3\sqrt[3]{27}=3327=3 (поскольку 33=273^3=2733=27).
- Для четвертого корня (n=4n=4n=4): 6254=5\sqrt[4]{625}=54625=5 (поскольку 54=6255^4=62554=625).
Свойства корней n-й степени
- Арифметический корень : Арифметическим корнем n-й степени из неотрицательного числа aaa является неотрицательное число, n-я степень которого равна aaa. Например, 164=2\sqrt[4]{16}=2416=2 и −2-2−2 (но арифметический корень — это только 2).
- Четные и нечетные корни : * Если nnn четное, то корень n-й степени из положительного числа имеет два значения (например, 164=2\sqrt[4]{16}=2416=2 и −2-2−2). * Если nnn нечетное, то корень существует для любого числа, включая отрицательные (например, −83=−2\sqrt[3]{-8}=-23−8=−2).
- Основные свойства : * (an)n=a(\sqrt[n]{a})^n=a(na)n=a * Корень из произведения: abn=an⋅bn\sqrt[n]{ab}=\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[n]{b}nab=na⋅nb * Корень из дроби: abn=anbn\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}nba=nbna, при условии что b>0b>0b>0. * Извлечение корня из степени: amn=am/n\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}nam=am/n. * Двойное извлечение корня: anm=amn\sqrt[m]{\sqrt[n]{a}}=\sqrt[mn]{a}mna=mna.
Применение
Корни n-й степени широко используются в алгебре, геометрии и других областях математики. Они позволяют решать уравнения, находить длины сторон в геометрических фигурах и выполнять множество других вычислений. Таким образом, понимание свойств и правил работы с корнями n-й степени является важным аспектом математического образования.
English (US)